Question

（本題滿分12分）已知橢圓過點，且離心率為.

  （Ⅰ）求橢圓的方程；

  （Ⅱ）為橢圓的左、右頂點，直線與軸交于點，點是橢圓上異于

的動點，直線分別交直線于兩點.證明：恒為定值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）. （Ⅱ）為定值.證明見解析。

【解析】本試題主要是考出了橢圓方程的求解，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系的運用的綜合考查，體現(xiàn)了運用代數(shù)的方法解決解析幾何的本質(zhì)的運用。

（1）首先根據(jù)題意的幾何性質(zhì)來表示得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，從而得到其橢圓的方程。

（2設(shè)出直線方程，設(shè)點P的坐標(biāo)，點斜式得到AP的方程，然后聯(lián)立方程組，可知借助于韋達定理表示出長度，進而證明為定值。

（Ⅰ）解：由題意可知，，，

解得.        …………4分

所以橢圓的方程為.     …………5分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知,，.設(shè)，依題意，

于是直線的方程為，令，則.

即.               …………7分

又直線的方程為，令，則，

即.               …………9分

 …………11分

又在上，所以,即，代入上式，

得,所以為定值.          …………12分