Question

【題目】已知直線l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．
（1）求證：對m∈R，l1與l2的交點P在一個定圓上；
（2）若l1與定圓的另一個交點為P1 ， l2與定圓的另一個交點為P2 ， 求當(dāng)m在實數(shù)范圍內(nèi)取值時，△PP1P2的面積的最大值及對應(yīng)的m．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：l1：﹣y=0，過定點（0，0）， =m；

l2：x+my﹣m﹣2=0，m（y﹣1）+x﹣2=0， =﹣

令y﹣1=0，x﹣2=0．得y=1，x=2，∴過定點（2，1），

∵ =﹣1，∴直線與直線互相垂直，

∴直線與直線的交點必在以（0，0），（2，1）為一條直徑端點的圓上，且圓心（1， ），半徑r= = ，

∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣ ）2= ．

即x2+y2﹣2x﹣y=0；

（2）解：由（1）得：（0，0），（2，1）．當(dāng)P點在定圓上移動時，△PP1P2的底邊P1P2為定值2r．當(dāng)三角形的高最大時，△PP1P2的面積最大．

故三角形面積最大為 2rr=

又與圓的交點為P（ ， ），且OP與P1P2的夾角是45°．

∴|OP|= = ，即 + = ，解得：m=3或m=

故當(dāng)m=3或m= 時，△PP1P2的面積取得最大值 ．

【析】（1）聯(lián)立兩條直線方程，消去m，即得到l1和l2的交點M的方程，判斷對m∈R，l1與l2的交點P在一個定圓上；（2）由（1）得：（0，0），（2，1）．當(dāng)P點在定圓上移動時，△PP1P2的底邊P1P2為定值2r．當(dāng)三角形的高最大時，△PP1P2的面積最大．