Question

在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（-1，0），（1，0），點(diǎn)G是△ABC的重心，y軸上一點(diǎn)M滿足GM∥AB，且|MC|=|MB|．
（I）求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（II）不過(guò)點(diǎn)A的直線l：y=kx+b與軌跡E交于不同的兩點(diǎn)P、Q，當(dāng)

AP

•

AQ

=0時(shí)，求k與b的關(guān)系，并證明直線l過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（I）先設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用G為△ABC的重心找到點(diǎn)G的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)M在y軸上且MG∥AB求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合∵|MC|=|MB|即可找到△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（II）先把直線方程和軌跡E的方程聯(lián)立找到關(guān)于點(diǎn)P和點(diǎn)Q坐標(biāo)之間的關(guān)系式，再利用

AP

•

AQ

=0就可找到k與b的關(guān)系，再反代入直線方程，就可證明直線l過(guò)定點(diǎn)．

解答：解：（I）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y）
因?yàn)镚為△ABC的重心
故G點(diǎn)坐標(biāo)為(

x

3

，

y

3

)（2分）
由點(diǎn)M在y軸上且MG∥AB知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，

y

3

)∵|MC|=|MB|∴x2+(

2

3

y)2=1+(

y

3

)2，
即x2+

y2

3

=1(y≠0)
∴△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程是x2+

y2

3

=1(y≠0)（5分）
（II）設(shè)直線y=kx+b與x2+

y2

3

=1的兩交點(diǎn)為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
把y=kx+b與x2+

y2

3

=1聯(lián)立得：

y=kx+b x2+ y2 3 =1

消去y得：（k²+3）x²+2kbx+b²-3=0（7分）
∴△=4k²b²-4（k²+3）（b²-3）=12（k²-b²+3）＞0
且x1+x2=-

2kb

k2+3

，x1x2=

b2-3

k2+3

．（9分）
∵

AQ

•

AQ

=0，∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=0
故（k²+1）x₁x₂+（kb+1）（x₁+x₂）+b²=0
代入整理得：k²+kb-2b²=0∴k=b或k=-2b．（10分）
（1）當(dāng)k=b時(shí)，y=kx+b=k（x+1）直線過(guò)點(diǎn)（-1，0）不合題意舍去．
（2）當(dāng)k=-2b時(shí)，y=kx+b=k(x-

1

2

)，直線過(guò)點(diǎn)(

1

2

，0)
綜上知：k=-2b，直線過(guò)定點(diǎn)(

1

2

，0)（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及向量垂直問(wèn)題．在做第一問(wèn)時(shí)，一定要注意點(diǎn)C不能與AB在一條直線上．