Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)對(duì)于任意都有且當(dāng)時(shí)，有。

（1）   判斷的奇偶性與單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（2）   設(shè)不等式對(duì)于一切恒成立，求整數(shù)的最小值。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）令，得，解得

令得，

所以，是奇函數(shù)。                               ………………………3分

設(shè)，則，由條件得，

因此，

所以，在上為減函數(shù)。                 ………………………6分

（2）由，得，因此，，所以原不等式可化為；

①當(dāng)時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法可證得

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。（）

ⅰ。當(dāng)時(shí)，左邊==右邊，等式成立。

ⅱ。假設(shè)時(shí)等式成立，即。

    當(dāng)時(shí)，

   這說明當(dāng)時(shí)等式也成立。

   根據(jù)ⅰ、ⅱ可知，對(duì)任意，均有成立。

②當(dāng)時(shí)，式顯示成立；

③當(dāng)時(shí)，由奇函數(shù)性質(zhì)可證明式也成立；

所以，有，

由單調(diào)性得，對(duì)于恒成立�！�……………10分

解法一：由恒成立，令。

由基本不等式可得，因此，

又由，得。                                   ………………14分

解法二：設(shè)，

對(duì)于恒成立。

①若，此時(shí)無解；

②若。

③若。

綜上可得：又，所以。               ………………14分

解法三:由已知易得，令，得，因此，即，又由于可取到，所以。                             ………………14分

 

【解析】略