Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+|x-1|（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=

2

3

時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值．
（3）?x∈[

1

2

，+∞），使不等式f（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=

2

3

時(shí)，f（x）=

2 3 lnx+x-1，x≥1 2 3 lnx-x+1，0＜x＜1

，f′(x)=

2 3x +1，x≥1 2 3x -1，0＜x＜1

，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）=alnx+x-1，f′(x)=

a

x

+1，
①當(dāng)a≥-1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．由此進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值．
（3）由?x∈[

1

2

，+∞），使不等式f（x）＜0成立，得到只需f（x）的最小值f（x）_min＜0即可．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）a=

2

3

時(shí)，f（x）=

2

3

lnx+|x-1|=

2 3 lnx+x-1，x≥1 2 3 lnx-x+1，0＜x＜1

，
∴f′(x)=

2 3x +1，x≥1 2 3x -1，0＜x＜1

，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，由

2

3x

-1≥0，得0＜x≤

2

3

．由

2

3x

-1＜0得

2

3

＜x＜1．
∴f（x）的增區(qū)間為（0，

2

3

]、[1，+∞），減區(qū)間為（

2

3

，1）．
（2）x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）=alnx+x-1，
f′(x)=

a

x

+1，
①當(dāng)a≥-1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，其最小值為f（1）=0．
②當(dāng)a＜-1時(shí)，f′(x)=

a+x

x

≥0，x≥-a，
f′（x）＜0，得1＜x＜-a，
此時(shí)f（x）在[-a，+∞）上是增函數(shù)，在[1，-a）上是減函數(shù)，其最小值為f（-a）=aln（-a）-a-1，
綜上所述，當(dāng)a≥-1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為[1，+∞），最小值為aln（-a）-a-1；
當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為[-a，+∞），其最小值為0；
（3）∵?x∈[

1

2

，+∞），使不等式f（x）＜0成立，
只需f（x）的最小值f（x）_min＜0即可．
f′(x)=

a x +1，x≥1 a x -1， 1 2 ≤x＜1

，
當(dāng)x≥1時(shí)，由f′(x)=

a

x

+1=0，得x=-a，不成立；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，由f′（x）=

a

x

-1=0，得x=a，且0＜a＜1，
若當(dāng)x=a時(shí)，f（x）b取最小值，則f（a）=alna+|a-1|=alna+1-a＜0，
∴

1

1-lna

＜a＜1，故a∈（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，同時(shí)考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性．