Question

已知函數(shù)f(x)=

3

lnx(x≥1)，若將其圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ∈(0，

π

2

)角后，所得圖象仍是某函數(shù)的圖象，則當(dāng)角θ取最大值θ₀時(shí)，tanθ₀=（　　）

• A．

  3

• B．

  3

  3

• C．

  3

  e

• D．

  e

  3

Answer 1

分析：若函數(shù)f（x）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ后所得曲線仍是一函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義中的“唯一性”可得函數(shù)f（x）的圖象與任一斜率為tanθ的直線y=tanθx+b均不能有兩個(gè)以上的交點(diǎn)，進(jìn)而可得答案．

解答：解：由題意可得：
當(dāng)函數(shù)f(x)=

3

lnx(x≥1)上動點(diǎn)P（x，

3

lnx）與原點(diǎn)連線與函數(shù)f(x)=

3

lnx(x≥1)的圖象相切時(shí)
旋轉(zhuǎn)角θ取最大值θ₀，
此時(shí)

3 lnx

x

=f′（x）=

3

x

解得x=e
此時(shí)tanθ₀=

3

e

故選：C

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的定義，其中根據(jù)函數(shù)的定義分析出函數(shù)f（x）的圖象與任一斜率為1的直線y=x+b均不能有兩個(gè)以上的交點(diǎn)，是解答本題的關(guān)鍵．