Question

如圖，線段AB過x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0）（m＞0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過A、O、B三點(diǎn)作拋物線．
（1）求拋物線方程；
（2）若m為定值，求△AOB面積的最小值；
（3）若∠AOB=，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線AB方程為：x=ky+m，拋物線方程為：y²=2px（p＞0），由 得，y²-2pky-2pm=0，再由韋達(dá)定理能夠?qū)С鰭佄锞�方程；
（2）由=，能夠?qū)С觥鰽OB面積的最小值；
（3）==，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)直線AB方程為：x=ky+m，拋物線方程為：y²=2px（p＞0），
由 得，y²-2pky-2pm=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有，
由題意，|-2pm|=2m⇒2p=2，
故所求拋物線方程為：y²=2x；
（2）
=
=m．
（3）=
=，
∴，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，求△AOB面積的最小值和求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用拋物線的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．