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        1. 如右圖所示,作邊長(zhǎng)為a的正三角形的內(nèi)切圓,在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形,然后,再作新三角形的內(nèi)切圓.如此下去,求前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和.

          前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和是(1-)π.


          解析:

          設(shè)第n個(gè)正三角形的內(nèi)切圓的半徑為an.

              因?yàn)閺牡?個(gè)正三角形開(kāi)始,每一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正三角形邊長(zhǎng)的,每一個(gè)正三角形內(nèi)切圓的半徑也是前一個(gè)正三角形內(nèi)切圓半徑的,

              故a1=atan30°==a,a2=a1,…,an=an-1.

          ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a,公比為的等比數(shù)列.∴an=×()n-1a.

              設(shè)前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為Sn,則

          Sn=π(a12+a22+…+an2)=πa12[1+()2+()2+()2]=πa12[1+()+()2+…+()n-1]=×(1-)π=(1-)π.

             

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