Question

一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面上分別寫有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體下底面上的數(shù)字分別為x₁、x₂，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁-3，x₂-3），記ξ=|

OP

|2．
（Ⅰ）分別求出ξ取得最大值和最小值時(shí)的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）擲出點(diǎn)數(shù)x可以是：1、2、3、4，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．則（x-3）²的所有取值分別為：0、1、4．因此ξ的所有取值為：0、1、2、4、5、8．由此能夠求出ξ取得最大值和最小值時(shí)的概率．
（Ⅱ）由ξ的所有取值為：0、1、2、4、5、8．且P(ξ=0)=P(ξ=8)=

1

16

；P(ξ=1)=

4

16

；P(ξ=2)=

4

16

；P(ξ=4)=

2

16

；P(ξ=5)=

4

16

．能求出ξ的分布列ξ的期望．

解答：解：（Ⅰ）擲出點(diǎn)數(shù)x可以是：1、2、3、4，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．
則x-（3分）別得：-2、-1、0、1，
于是（x-3）²的所有取值分別為：0、1、4．
因此ξ的所有取值為：0、1、2、4、5、8．
當(dāng)x₁=x₂=1時(shí)，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最大值8，
P(ξ=8)=

1

4

×

1

4

=

1

16

當(dāng)x₁=x₂=3時(shí)，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最小值0，
P(ξ=0)=

1

4

×

1

4

=

1

16

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ξ的所有取值為：0、1、2、4、5、8．
且P(ξ=0)=P(ξ=8)=

1

16

；P(ξ=1)=

4

16

；
P(ξ=2)=

4

16

；
P(ξ=4)=

2

16

；
P(ξ=5)=

4

16

．
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	4	5	8
P	1 16	1 4	1 4	1 8	1 4	1 16

即ξ的期望Eξ=0×

1

16

+1×

1

4

+2×

1

4

+4×

1

8

+5×

1

4

+8×

1

16

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．