Question

（滿分12分）

已知函數(shù)f ( x )=x ²+ax+b

（1）若f (x)在[ 1，+∞)內(nèi)遞增，求實數(shù)a的范圍。

（2）若對任意的實數(shù)x都有f (1+x)=f (1－x) 成立，

①求實數(shù) a的值；

②證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).

 

Answer 1

【答案】

① a＝－2②略

【解析】解：（1）a ≥－2

 (2)由f(1+x)=f(1－x)得，

(1＋x)²＋a(1＋x)＋b＝(1－x)²＋a(1－x)＋b，即：(a＋2)x＝0，

由于對任意的x都成立，∴ a＝－2.

可知 f (x)=x ²－2x+b，下面證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).設(shè)，

則＝（）－（）

＝（）－2（）＝（）（－2）

∵，則＞0，且－2＞2－2＝0，

∴ ＞0，即，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).

法2：可用導(dǎo)數(shù)證明