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        1. 已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-
          x
          1+x
          在[0,+∞)上單調(diào)遞增,數(shù)列{an}滿足a1=
          1
          3
          ,a2=
          7
          9
          ,an+2=
          4
          3
          an+1-
          1
          3
          an
          (n∈N*).
          (Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及a取得最小值時(shí)f(x)的最小值;
          (Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (Ⅲ)求證:
          1
          a1+2
          +
          1
          a2+2
          +…+
          1
          an+2
          <ln
          3n+1-2
          (n∈N*).
          分析:(Ⅰ)由題意,f′(x)=
          a
          1+x
          -
          1
          (x+1)2
          ≥0在[0,+∞)上恒成立,分離參數(shù),可得a≥
          1
          1+x
          在[0,+∞)上恒成立,求出最值,即可得到結(jié)論;
          (Ⅱ)先證明{an+1-
          1
          3
          an
          }是常數(shù)數(shù)列,再證明{an-1}是首項(xiàng)為-
          2
          3
          ,公比為
          1
          3
          的等比數(shù)列,即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (Ⅲ)由(Ⅰ)知ln(x+1)>
          x
          1+x
          對(duì)x∈[0,+∞)恒成立,令x=
          2
          an
          ,則ln(
          2
          an
          +1)>
          2
          an
          1+
          2
          an
          ,可得
          2
          an+2
          <ln(3n+1-2)-ln(3n-2),疊加即可證得結(jié)論.
          解答:(Ⅰ)解:由題意,f′(x)=
          a
          1+x
          -
          1
          (x+1)2
          ≥0在[0,+∞)上恒成立
          ∴a≥
          1
          1+x
          在[0,+∞)上恒成立
          ∵x∈[0,+∞),∴
          1
          1+x
          ∈(0,1]
          ∴a≥1
          當(dāng)a=1時(shí),f(x)min=f(0)=0;
          (Ⅱ)解:∵an+2=
          4
          3
          an+1-
          1
          3
          an
          ,
          an+2-
          1
          3
          an+1
          =an+1-
          1
          3
          an

          ∴{an+1-
          1
          3
          an
          }是常數(shù)數(shù)列
          a1=
          1
          3
          ,a2=
          7
          9
          ,
          a2-
          1
          3
          a1=
          2
          3

          an+1-
          1
          3
          an
          =
          2
          3

          an+1=
          1
          3
          an+
          2
          3

          an+1-1=
          1
          3
          (an-1)

          ∴{an-1}是首項(xiàng)為-
          2
          3
          ,公比為
          1
          3
          的等比數(shù)列
          ∴an-1=(-
          2
          3
          )•(
          1
          3
          )n-1

          ∴an=1-
          2
          3n

          (Ⅲ)證明:由(Ⅰ)知ln(x+1)>
          x
          1+x
          對(duì)x∈[0,+∞)恒成立
          令x=
          2
          an
          ,則ln(
          2
          an
          +1)>
          2
          an
          1+
          2
          an

          2
          an+2
          <ln(
          2
          an
          +1)=ln(3n+1-2)-ln(3n-2)
          2
          a1+2
          +
          2
          a2+2
          +…+
          2
          an+2
          <[ln(32-2)-ln(31-2)]+[ln(33-2)-ln(32-2)]+…+ln(3n+1-2)-ln(3n-2)=ln(3n+1-2)
          1
          a1+2
          +
          1
          a2+2
          +…+
          1
          an+2
          1
          2
          ln(3n+1-2)=ln
          3n+1-2
          點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查數(shù)列的通項(xiàng)與不等式的證明,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-
          12x+1

          (1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
          (2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
          (3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)
          a-x  ,x≤0
          1  ,0<x≤3
          (x-5)2-a,x>3
          (a>0且a≠1)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(8,6).
          (1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
          (2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
          (3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-
          1
          2x+1
          ,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
          A、
          1
          2
          B、2
          C、
          1
          3
          D、3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a(x-1)x2
          ,其中a>0.
          (I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
          (III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-
          12x-1
          ,(a∈R)
          (1)求f(x)的定義域;
          (2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
          (3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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