Question

如圖所示：橢圓的中心為O，F(xiàn)為焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線L交OA的延長(zhǎng)線于B，P、Q在橢圓上，且PD⊥L于D，QF⊥OA于F，橢圓的離心率為e，給出下列結(jié)論：
①e=

|PF|

|PD|

；②e=

|QF|

|BF|

；③e=

|AO|

|BO|

；④e=

|AF|

|PF|

；⑤e=

|FO|

|AO|

其中正確命題的序號(hào)是

 

（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，進(jìn)而由橢圓的方程，分別化簡(jiǎn)表示、計(jì)算5個(gè)式子的值，與離心率e=

c

a

比較可得答案．

解答：解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（0＜a＜b）依次分析5個(gè)比值的式子可得：
①、根據(jù)橢圓的第二定義，可得

|PF|

|PD|

=e，故符合；
②、根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可得|BF|=

a2

c

-c=

b2

c

，|QF|=

b2

a

，則

|QF|

|BF|

=

c

a

=e，故符合；
③、由橢圓的性質(zhì)，可得|AO|=a，|BO|=

a2

c

，則

|AO|

|BO|

=

c

a

=e，故符合；
④、由橢圓的性質(zhì)，可得|AF|=a-c，

|PF|

|PD|

=e|AF|≠|(zhì)PD|，故不符合；
⑤、由橢圓的性質(zhì)，可得|AO|=a，|FO|=c，

|FO|

|AO|

=

c

a

=e，故符合；
故答案為①②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：題考查橢圓的性質(zhì)，需要掌握橢圓的常見(jiàn)性質(zhì)以及其中的一些特殊的長(zhǎng)度，如|BF|=

a2

c

-c=

b2

c

，是焦準(zhǔn)距．