Question

【題目】如圖，為橢圓的下頂點.過的直線交拋物線于，兩點，是的中點.

（1）求證：點的縱坐標是定值；

（2）過點作與直線傾斜角互補的直線交橢圓于，兩點.求的值，使得的面積最大.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由題意可求，設，利用是的中點，求出的坐標，代入拋物線方程，可得的關系，再代入點的縱坐標即可得出結果；

（2）由題意可得，進而可以表示出直線的斜率和直線斜率，則可求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，求出的長和點到的距離，

從而可以求出，變形，利用基本不等式求其最值，通過等號的成立條件可求出的值.

（1）易知，不妨設，則，代入拋物線方程得：

，得：，∴為定值.

（2）∵點是中點，∴，

∵直線的斜率，直線斜率，

∴直線的方程：，即，不妨記，則：，

代入橢圓方程整理得：，設，，則

，，

，

到的距離，

所以.

取等號時，，得，

所以，.