Question

在平面直角坐標系xoy中，點B與A（-1，1）點關于原點O對稱，P為動點，且直線AP與BP的斜率之積等于-

1

2

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設直線AP、BP分別與直線x=3交于點M、N，問是否存在點P，使AN∥BM，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設點P的坐標為（x，y），先分別求出直線AP與BP的斜率，再利用直線AP與BP的斜率之間的關系即可得到關系式，化簡后即為動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設出點P的坐標，求出直線方程，從而可得M，N的坐標，根據(jù)AN∥BM，直線AP與BP的斜率之積等于-

1

2

，即可求得結論．

解答：解：（I）因為點B與A（-1，1）關于原點O對稱，所以點B得坐標為（1，-1）．
設點P的坐標為（x，y），則
∵直線AP與BP的斜率之積等于-

1

2

，
∴

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

2

化簡得x²+2y²=3（x≠±1）．
故動點P軌跡方程為x²+2y²=3（x≠±1）；
（Ⅱ）設點P（a，b），則直線AP：y=

b-1

a+1

x+

a+b

a+1

直線BP：y=

b+1

a-1

x+

a+b

-a+1

直線AP、BP分別與直線x=3交于點M、N，
所以，點M（3，

4b+a-3

a+1

），點N（3，

2b-a+3

a-1

）
因為AN∥BM，所以

2b+a-3

a+1

=

b-a+2

2a-2

，所以a=

5

3

因為直線AP與BP的斜率之積等于-

1

2

，
所以

b-1

a+1

•

b+1

a-1

=-

1

2

，所以b=-

1

3

或者b=

1

3

所以，存在點P （

5

3

，

1

3

）或者（

5

3

，-

1

3

）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．