Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程為

x=1-t y=2+ 3 t

（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為

x=4cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)），直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．
求：（1）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）線段AB的長；
（3）|PA-PB|的值．

Answer 1

分析：先將直線的參數(shù)方程化為

x=a+cosαl y=b+sinαl

（l為參數(shù)）的形式，此時，|l|的幾何意義為（a，b）點(diǎn)到（x，y）的距離，（1）設(shè)點(diǎn)A對應(yīng)的參數(shù)為l₁，點(diǎn)B對應(yīng)的參數(shù)為l₂，將直線的參數(shù)方程代入曲線，利用韋達(dá)定理即可得l₁+l₂，而

l1+l2

2

即為AB中點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)，代入?yún)��?shù)方程可得中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）AB的長度即為AB參數(shù)差的絕對值，利用韋達(dá)定理代入求值即可；因?yàn)辄c(diǎn)P（1，2）在直線

x=1- 1 2 l y=2+ 3 2 l

上，且點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，故A、B兩點(diǎn)分布在點(diǎn)P兩側(cè)，即l₁與l₂異號，所以|PA-PB|的值即為l₁+l₂的絕對值，代入求值即可

解答：解：由題意可知，直線l的斜率為-

3

，傾斜角為

2π

3

∴直線l的參數(shù)方程可改寫為

x=1- 1 2 l y=2+ 3 2 l

（l為參數(shù)，|l|的幾何意義為（1，2）點(diǎn)到（x，y）的距離），
曲線C的普通方程為

x2

16

+

y2

9

=1，
將直線方程代入曲線C的方程可得，

57

4

l2+(32

3

-9)l-71=0，
設(shè)點(diǎn)A對應(yīng)的參數(shù)為l₁，點(diǎn)B對應(yīng)的參數(shù)為l₂，
∵△＞0，∴l1+l2=-

4(32 3 -9)

57

，l1l2=-

284

57

，
由參數(shù)l的幾何意義得
（1）中點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為l=

l1+l2

2

=

18-64 3

57

，代入直線參數(shù)方程得

x=1- 1 2 × 18-64 3 57 = 48+32 3 57 y=2+ 3 2 × 18-64 3 57 = 6+3 3 19

∴線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(

48+32 3

57

，

6+3 3

19

)；
（2）弦AB的長為AB=|l₁-l₂|=

(l1+l2)2-4l1l2

=

( - 4(32 3 -9) 57 )2-4× (- 284 57 )

=

16

19

50-4 3

；
（3）∵點(diǎn)P（1，2）在直線

x=1- 1 2 l y=2+ 3 2 l

上，且點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，故A、B兩點(diǎn)分布在點(diǎn)P兩側(cè)，即l₁與l₂異號

∴|PA-PB|=||l1|-|l2||=|l1+l2|=

4(32 3 -9)

57

．

點(diǎn)評：本題考查了直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，橢圓的參數(shù)方程及其與一般方程的互化，韋達(dá)定理在解決解析幾何問題中的重要應(yīng)用