Question

一條直角走廊寬 1.5米，如圖所示，現有一轉動靈活的手推車，其平板面為矩形ABCD，寬AD為1米，延長AB交直角走廊于A₁、B₁，設∠CDE₁=θ，
（1）證明：A₁B₁=1.5（

1

sinθ

+

1

cosθ

）．
（2）求A₁B₁的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中直角走廊寬為1.5m，轉動靈活的平板手推車，寬為1m，我們設AB所在直線與走廊外輪廓線交于點A₁、B₁，根據A₁B ₁=A₁O+OB₁，可證；
（2）利用導數法，判斷出函數的單調性，及最值，即可得到答案．

解答：解：（1）由題意A₁B ₁=A₁O+OB₁，
∵一條直角走廊寬 1.5米，∠CDE₁=θ，
∴A′B′=

1.5

sinθ

+

1.5

cosθ

，
（2）求導函數得A1B1 /=1.5×

sin3θ-cos3θ

sin2θcos2θ

令導數為0，可得tanθ=1，∴θ=

π

4

又函數在（0，

π

4

）上單調減，在（

π

4

，

π

2

）上單調增
∴θ=

π

4

時冪函數取極小值，且為最小值
此時A₁B₁的最小值為3

2

點評：本題的考查的知識點是利用導研究函數的單調性，函數模型的選擇，利用導數求閉區(qū)間上的函數的最值，其中將實際問題轉化為利用導數法求函數最值問題，是解答本題的關鍵．