Question

y

A

(本小題滿分12分)

F2

F1

如圖，A為橢圓上

O

x

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB、AC分別過(guò)焦點(diǎn)

B

F₁、F₂。當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，恰好

C

∶=3∶1.

(1)求該橢圓的離心率；

(2)設(shè)，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

(1)

解析:

(1)當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，∶=3∶1

y

由+=2a，得……2分

在Rt△AF₁F₂中，

F2

F1

B

O

C

A

【或由】   

x

解得……4分

(2)由，則，

，則橢圓方程為.

設(shè)，①若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為，代入橢圓方程有

由韋達(dá)定理得：……7分

所以

故……9分

②若直線AC⊥x軸，    ∴……11分

綜上所述：是定值6……12分