Question

設(shè)甲、已、丙三人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為0.7、0.6和0.5．
（1）三人各向目標(biāo)射擊一次，求至少有一人命中目標(biāo)的概率及恰有兩人命中目標(biāo)的概率；
（2）若甲單獨向目標(biāo)射擊三次，求他恰好命中兩次的概率．

Answer 1

分析：（1）三人各向目標(biāo)射擊一次，可以設(shè)A_k表示“第k人命中目標(biāo)”．求至少有一人命中目標(biāo)的概率，可以用1減去其反面沒有一個人命中目標(biāo)的概率即可．恰有兩人命中目標(biāo)的概率分為三種，即甲乙射中丙不中、甲丙射中乙不中、乙丙射中甲不中，即求P（A1•A2•

.

A3

+A1•

.

A2

•A3+

.

A1

•A2•A3）求解即可．
（2）甲單獨向目標(biāo)射擊三次，求他恰好命中兩次的概率．根據(jù)n次獨立重復(fù)試驗發(fā)生k次的概率直接求解即可．

解答：解：（1）設(shè)A_k表示“第k人命中目標(biāo)”，k=1，2，3．
這里A₁，A₂，A₃獨立，且P（A₁）=0.7，P（A₂）=0.6，P（A₃）=0.5．
從而，至少有一人命中目標(biāo)的概率為
1-P（

.

A1

，

.

A2

，

.

A3

）=1-P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（

.

A3

）=1-0.3×0.4×0.5=0.94
恰有兩人命中目標(biāo)的概率為
P（A1•A2•

.

A3

+A1•

.

A2

•A3+

.

A1

•A2•A3）
=P（A₁）P（A₂）P（

.

A3

）+P（A₁）P（

.

A2

）P（A₃）+P（

.

A1

）P（A₂）P（A₃）
=0.7×0.6×0.5+0.7×0.4×0.5+0.3×0.6×0.5=0.44
則至少有一人命中目標(biāo)的概率為0.94，恰好有兩人命中目標(biāo)的概率為0.44．
（2）設(shè)甲每次射擊為一次試驗，從而該問題構(gòu)成三次重復(fù)獨立試驗．由已知在每次試驗中事件“命中目標(biāo)發(fā)生的概率為0.7．
故所求概率為P₃（2）=C₃²（0.7）²（0.3）=0.441
故他恰好命中兩次的概率為0.441．

點評：此題主要考查n次重復(fù)獨立試驗發(fā)生k次的概率問題，其中涉及到相互獨立事件的概率乘法公式．這兩個知識點在高考中都屬于重點考點，希望同學(xué)們多加理解．