Question

光澤圣農(nóng)公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年需投入固定成本0.5萬元，此外每生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品，還需增加投入0.25萬元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為500件，產(chǎn)品銷售數(shù)量為t件時(shí)，銷售所得的收入為（0.05t-

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20000

t2）萬元．
（1）該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為x件，生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤(rùn)關(guān)于當(dāng)年產(chǎn)量x的函數(shù)為f（x），求f（x）；
（2）當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，當(dāng)年所獲得的利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)=銷售所得的收入-銷售成本，建立函數(shù)關(guān)系即可；
（2）利用配方法，求得二次函數(shù)f（x）=-

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20000

x2+0.0475x-0.5在x=475時(shí)取得最大值，即獲得的利潤(rùn)最大．

解答：解：（1）由題意可知，公司生產(chǎn)并銷售x件產(chǎn)品的銷售收入為（0.05x-

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20000

x2）萬元，
投入固定成本0.5萬元，另需增加投入

x

100

×0.25萬元．
∴f（x）=0.05x-

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20000

x2-（0.5+

x

100

×0.25）=-

1

20000

x2+0.0475x-0.5，（0＜x≤500）；
（2）由f（x）=-

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20000

x2+0.0475x-0.5=-

1

20000

(x-475)2+10.78125．
∴當(dāng)x=475時(shí)，f（x）_max=10.78125．
∴當(dāng)年產(chǎn)量為475（件）時(shí)，當(dāng)年公司所得利潤(rùn)最大，最大為10.78125萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的性質(zhì)與運(yùn)用，考查了簡(jiǎn)單的建模思想方法，訓(xùn)練里利用配方法求二次函數(shù)的最值，是中檔題．