Question

如圖，正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2，B，C分別為AM，MD的中點(diǎn)，在五棱錐P-ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H．
（1）求證：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理即可證得；
（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE為正方形，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，分別求出A，B，C，E，P，F(xiàn)，及向量BC的坐標(biāo)，設(shè)平面ABF的法向量為n=（x，y，z），求出一個(gè)值，設(shè)直線BC與平面ABF所成的角為α，運(yùn)用sinα=|cos＜n，

BC

＞|，求出角α；設(shè)H（u，v，w），再設(shè)

PH

=λ

PC

(0＜λ＜1)，用λ表示H的坐標(biāo)，再由n•

AH

=0，求出λ和H的坐標(biāo)，再運(yùn)用空間兩點(diǎn)的距離公式求出PH的長(zhǎng)．

解答： （1）證明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中點(diǎn)，
∴AB∥DE，又∵AB?平面PDE，∴AB∥平面PDE，
∵AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，
∴AB∥FG；
（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），
E（0，2，0），F(xiàn)（0，1，1），

BC

=(1，1，0)，
設(shè)平面ABF的法向量為n=（x，y，z），則

n• AB =0 n• AF =0

即

x=0 y+z=0

，
令z=1，則y=-1，∴n=（0，-1，1），
設(shè)直線BC與平面ABF所成的角為α，則
sinα=|cos＜n，

BC

＞|=|

n• BC

|n|•| BC |

|=

1

2

，
∴直線BC與平面ABF所成的角為

π

6

，
設(shè)H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可設(shè)

PH

=λ

PC

(0＜λ＜1)，
即（u，v，w-2）=λ（2，1，-2），∴u=2λ，v=λ，w=2-2λ，∵n是平面ABF的法向量，
∴n•

AH

=0，即（0，-1，1）•（2λ，λ，2-2λ）=0，解得λ=

2

3

，∴H（

4

3

，

2

3

，

2

3

），
∴PH=

( 4 3 )2+( 2 3 )2+(- 4 3 )2

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面平行、垂直的判定和性質(zhì)，同時(shí)考查直線與平面所成的角的求法，考查運(yùn)用空間直角坐標(biāo)系求角和距離，是一道綜合題．