Question

函數(shù)f（x）=ax²+4x+1在區(qū)間[1，4]上的最小值為g（a），則（　�。�

• A、g(a)=

  a+5，(a＞0或- 1 2 ≤a＜0) 5，(a=0) 1- 4 a ，(-2≤a＜- 1 2 ) 16a+17，(a≤-2)

• B、g(a)=

  a+5，(a＞0或- 1 2 ≤a＜0) 1- 4 a ，(-2≤a＜- 1 2 ) 16a+17，(a≤-2)

• C、g(a)=

  a+5，(a≥0或a≤-2) 1- 4 a ，(-2≤a＜- 1 2 ) 16a+17，(- 1 2 ≤a＜0)

• D、g(a)=

  a+5，(a≥- 4 5 ) 16a+17，(a＜- 4 5 )

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的解析式求出二次函數(shù)的對稱軸，并求出區(qū)間的中點，然后分a大于0和a小于0兩種情況考慮：a小于0時，當對稱軸在區(qū)間中點的左側時，得到函數(shù)的最小值g（a）為f（4），求出此時a的范圍；當對稱軸在區(qū)間中點的右側時，得到函數(shù)的最小值g（a）為f（1），求出此時a的范圍；當a大于0時，同理可得a的函數(shù)的最小值，并求出相應a的取值范圍；聯(lián)立即可得到g（a）分段函數(shù)的解析式．

解答：解：根據(jù)函數(shù)f（x）=ax²+4x+1，得到函數(shù)的對稱軸為x=-

2

a

，且閉區(qū)間[1，4]的中點為

5

2

，
則a＜0時：①-

2

a

＜

5

2

即a＜-

4

5

時，得到函數(shù)的最小值g（a）=f（4）=16a+17；
②-

2

a

≥

5

2

即0＞a≥-

4

5

時，得到函數(shù)的最小值g（a）=f（1）=a+5．
a＞0時：①-

2

a

≤

5

2

即a≥-

4

5

，即a＞0，得到函數(shù)的最小值g（a）=f（1）=a+5；
②-

2

a

＞

5

2

即a＜-

4

5

，不合題意，舍去．
綜上，得到g(a)=

a+5，(a≥- 4 5 ) 16a+17，(a＜- 4 5 )

．
故選D

點評：此題考查學生掌握二次函數(shù)的圖象與性質，考查了分類討論的數(shù)學思想，是一道綜合題．