Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD—ABCD中，P是AC與BD的交點，M是CC的中點．

（1）求證：AP⊥平面MBD；

（2）求直線AM與平面MBD所成角的正弦值；

（3）求平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值．

Answer 1

解：如圖，以D為坐標(biāo)原點，向量，，為

單位正交基向量，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz．

則P(，，0)，M(0，1，)．

（1）=(－，，－1)，＝(1，1，0)，

＝(0，1，)，所以·＝0，·＝0．

所以⊥，⊥．

又因為BD∩DM＝D，所以AP⊥平面MBD；……………………………4分

（2）由（1）可知，可取n=(1，－1，2)為平面MBD的一個法向量．

又＝(－1，1，)，         ……………………………………………6分

所以cos<n，>＝＝－ ．

所以直線AM與平面MBD所成角的正弦值為．             ……………………9分

所以直線AM與平面MBD所成角的余弦值為．       ……………………………10分

 （3）=(0，1，0)，=(－1，0，)．

設(shè)n₁＝(x，y，z)為平面ABM的一個法向量，則

 解得   即可取n₁＝(1，0，2)．  ………………12分

由（1）可知，可取n=(1，－1，2)為平面MBD的一個法向量．

所以cos< n，n₁>＝＝ ．                   ……………………………15分

所以平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值為．   ……………………………16分