Question

設(shè)函數(shù)f（x）=－ax，其中a>0.

（1）解不等式f（x）≤1；

（2）求證：當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在［0，+∞）上是單調(diào)函數(shù).

Answer 1

（1）解：∵≤1+ax.

又a>0，∴.

當(dāng)0<a<1時(shí)，解集為{x|0≤x≤}；

當(dāng)a≥1時(shí)，解集為{x|x≥0}.

（2）證明：f′（x）=－a=－a，

∵x∈［0，+∞），<1，a≥1，

∴當(dāng)x∈［0，+∞）時(shí)，f′（x）<0.

∴函數(shù)f（x）在［0，+∞）上為單調(diào)函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：（1）由本題（2）的證明過程可以看出，采用求導(dǎo)的方法對(duì)于證明一些含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性是非常簡(jiǎn)便的，可以避免用定義證明所帶來的煩瑣運(yùn)算.

（2）對(duì)于證明含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)注意到，不僅要考慮到參數(shù)的范圍，而且要結(jié)合自變量的范圍來確定f′（x）的符號(hào)，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.