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        1. (2012•棗莊二模)已知橢圓C:
          x
          2
           
          a
          2
           
          +
          y
          2
           
          b
          2
           
          =1(a>b>0)
          的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,且過(guò)點(diǎn)(1,
          3
          2
          ),橢圓C的焦點(diǎn)與曲線2
          x
          2
           
          -2
          y
          2
           
          =1
          的焦點(diǎn)重合.
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)過(guò)點(diǎn)F任作橢圓C的一條弦PQ,直線AP、AQ分別交直線x=4于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)分別為m、n.請(qǐng)問(wèn)以線段MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)?若存在,求出定意的坐標(biāo),并證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          分析:(1)由題意,橢圓C的焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0),且過(guò)點(diǎn)(1,
          3
          2
          ),由橢圓的定義,可得a的值,從而可求橢圓C的方程;
          (2)假設(shè)以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn),由(1)知F(1,0),分類討論:①當(dāng)PQ⊥x軸時(shí),以線段MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+y2=9,可得以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)(1,0),(7,0);②當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí),可得以線段MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+(y-
          m+n
          2
          2=(
          m-n
          2
          )2
          ,驗(yàn)證(1,0),(7,0)在圓上
          解答:解:(1)由題意,橢圓C的焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0),且過(guò)點(diǎn)(1,
          3
          2
          ),
          由橢圓的定義,可得2a=4,∴a=2
          ∴b2=a2-1=3
          ∴橢圓C的方程為
          x
          2
           
          4
          +
          y
          2
           
          3
          =1
          ;
          (2)假設(shè)以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn),由(1)知F(1,0)
          ①當(dāng)PQ⊥x軸時(shí),P,Q的橫坐標(biāo)均為1,將x=1代入橢圓方程可得y=±
          3
          2

          不妨令P(1,
          3
          2
          ),Q(1,-
          3
          2

          由A,P,M三點(diǎn)共線,得
          m-0
          4-(-2)
          =
          3
          2
          -0
          1-(-2)
          ,∴m=3
          同理可得n=-3
          ∴以線段MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+y2=9
          令y=0,可得x=1或x=7
          ∴以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)(1,0),(7,0);
          ②當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí),∵A(-2,0),M(4,m),∴kAM=
          m-0
          4-(-2)
          =
          m
          6

          ∴直線AM的方程為y=
          m
          6
          (x+2)

          代入橢圓方程,整理可得(27+m2)x2+4m2x+4m2-108=0
          設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則-2與x1是上述方程的兩個(gè)實(shí)根
          ∴-2x1=
          4m2-108
          27+m2
          ,∴x1=
          54-2m2
          27+m2
          ,∴y1=
          18m
          27+m2

          ∴P(
          54-2m2
          27+m2
          18m
          27+m2

          同理可得Q(
          54-2n2
          27+n2
          ,
          18n
          27+n2

          kFP=
          y1
          x1-1
          =
          6m
          9-m2
          ,kFQ=
          y2
          x2-1
          =
          6n
          9-n2

          ∵P,F(xiàn),Q三點(diǎn)共線,∴
          6m
          9-m2
          =
          6n
          9-n2

          ∴(m-n)(9+mn)=0
          ∵m≠n,∴9+mn=0,∴mn=-9
          ∴以線段MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+(y-
          m+n
          2
          2=(
          m-n
          2
          )2

          將(1,0)代入上式的坐標(biāo),可得(1-4)2+(0-
          m+n
          2
          2=-mn++(
          m+n
          2
          2=(
          m-n
          2
          )2

          ∴以線段MN為直徑的圓的方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)
          同理(7,0)也在圓上,
          綜上,以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)(1,0),(7,0).
          點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,綜合性強(qiáng).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•棗莊二模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+
          3
          2
          )=-f(x)
          ,且函數(shù)y=f(x-
          3
          4
          )
          為奇函數(shù),給出三個(gè)結(jié)論:
          ①f(x)是周期函數(shù);②f(x)是圖象關(guān)于點(diǎn)(-
          3
          4
          ,0)對(duì)稱;③f(x)是偶函數(shù).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•棗莊二模)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn,若8a2+a5=0,則
          S5
          S3
          的值為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•棗莊二模)α是第四象限角,cosα=
          3
          5
          ,則cos(α-
          π
          4
          )
          =
          -
          2
          10
          -
          2
          10

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•棗莊二模)已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=(2-i)(1+i)2的實(shí)部為a,虛部為b,則logab=( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•棗莊二模)已知點(diǎn)Q(0,2
          2
          )及拋物線
          y
          2
           
          =4x
          上一動(dòng)點(diǎn)P(x,y),則x+|PQ|的最小值是
          2
          2

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          同步練習(xí)冊(cè)答案