Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²-2x-2a（a為實(shí)常數(shù)）
（1）若a＞0，且f（x）在x∈[0，2]的最小值為-3，求a的值；
（2）若f（x）＞0的解集為A，B={x|1＜x＜3}，若A∩B=?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將二次函數(shù)f（x）=ax²-2x-2a配方轉(zhuǎn)化為f（x）=a(x-

1

a

)2-

1

a

-2a，對(duì)其對(duì)稱軸x=

1

a

與區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系分類討論即可；
（2）將“f（x）＞0的解集為A，B={x|1＜x＜3}，若A∩B=?，”轉(zhuǎn)化為f（x）≤0在x∈（1，3）上恒成立來(lái)解決，再對(duì)a分a＞0與a＜0分類討論即可．

解答：解：（1）f（x）=a(x-

1

a

)2-

1

a

-2a，
1°0≤

1

a

≤2即a≥2時(shí)，f（x）_min=f（

1

a

）=-2a-

1

a

=-3，
從而2a+

1

a

-3=0，
∴2a²-3a+1=0，
∴a=

1

2

或a=1（舍），
∴a=

1

2

．
2°若

1

a

＞2即0＜a＜

1

2

時(shí)f（x）_min=f（2）=4a-4-2a=-3，
∴2a=1，a=

1

2

（舍），
∴a=

1

2

…6分
（2）據(jù)題意有f（x）≤0在x∈（1，3）上恒成立?ax²-2x-2a≤0，x∈（1，3）恒成立，
1°a＞0時(shí)?

f(1)≤0 f(3)≤0

⇒

a-2-2a≤0 9a-b-2a≤0

⇒-2≤a≤

6

7

．
2°a＜0時(shí)，f（x）=a(x-

1

a

)2-

1

a

-2a在x∈（1，3）上單調(diào)遞減，
∴f（x）＜f（1）≤0，
∴-2≤a＜0．
綜上a∈[-2，0）∪（0，

6

7

]…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，著重考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，特別是將（2）轉(zhuǎn)化為f（x）≤0在x∈（1，3）上恒成立來(lái)解決是難點(diǎn)，屬于難題．