Question

如圖，兩射線AM，AN互相垂直，在射線AN上取一點(diǎn)B使AB的長為定值2a，在射線AN的左側(cè)以AB為斜邊作一等腰直角三角形ABC．在射線AM，AN上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D，E滿足△ADE與△ABC的面積之比為3：2，則•的取值范圍為________．

Answer 1

[5a²，+∞）
分析：以AM所在的直線為x軸，以AN所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)除點(diǎn)D（m，0）、E（0，n），化簡 =m²+ma+na．再由△ADE與△ABC的面積之比為3：2，求得n與m的關(guān)系．令f（m）=，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)f（m）取得最小值為 f（m），即可得到•的取值范圍．
解答：以AM所在的直線為x軸，以AN所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
由題意可得點(diǎn)C（-a，a），a＞0，A（0，0）、B（0，2a）．
設(shè)點(diǎn)D（m，0）、E（0，n），則有=（m+a，-a）、=（m，-n），∴=m²+ma+na．
再由△ADE與△ABC的面積之比為3：2 可得 =，∴mn=3a²，∴n=．
令f（m）=，則 f（m）=m²+ma+na=m²+ma+，
故有 f′（m）=2m+a+=．
由于a＞0、m＞0，令 f′（m）＞0，解得 m＞a． 令f′（m）＜0 解得 0＜m＜a．
故函數(shù)f（m）在（0，a）上是減函數(shù)，在（a，+∞）上是增函數(shù)，
故當(dāng)m=a時(shí)，函數(shù)f（m）取得最小值為 f（m）=5a²，故函數(shù)f（m）的值域?yàn)閇5a²，+∞），
故答案為[5a²，+∞）．
點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．