Question

（2012•韶關(guān)一模）已知函數(shù)f（x）=2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx-1（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為2sin（2ωx+

π

6

），由此求得f（

π

3

）的值．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．由 2x+

π

6

=kπ+

π

2

求得 x的值，從而得到f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx-1=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

），
因?yàn)閒（x）最小正周期為π，所以

2π

2ω

=π，解得ω=1，
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

），f（

π

3

）=2sin

5π

6

=1．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．  
由 2x+

π

6

=kπ+

π

2

可得 x=

1

2

kπ+

π

6

，k∈z．
所以，f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=

1

2

kπ+

π

6

，k∈z．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．