Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e=

2

2

，以F₁為圓心，|F₁F₂|為半徑的圓與直線x-

3

y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點(diǎn)S（0，-

1

3

）且斜率為k的直線交橢圓C于點(diǎn)A，B，證明無論k取何值，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)D（0，1）．

Answer 1

分析：（I）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則由已知得

|-c- 3 ×0-3|

1+3

=2c，得c=1．再由

c

a

=

2

2

能導(dǎo)出橢圓C的方程．
（II）由已知直線AB：y=kx-

1

3

，代入

x2

2

+y2=1，得x2+2(kx-

1

3

)2 =2，整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，再由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．

解答：解：（I）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則由已知得

|-c- 3 ×0-3|

1+3

=2c，
解得c=1．
∵

c

a

=

2

2

，∴a=

2

，∴b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（II）由已知直線AB：y=kx-

1

3

，代入

x2

2

+y2=1，得x2+2(kx-

1

3

)2 =2，
整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

4k

6k2+3

，x1x2=-

16

18k2+9

，
∵y1=kx1-

1

3

，y2=kx2-

1

3

，
∴

DA

•

DB

=(x1y1 -1)(x2y2-1)
=（1+k²）

-16

9(2k2+1)

-

4

3

k

4k

3(2k2+1)

+

16

9

=0，∴

DA

⊥

DB

．∴以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)D（0，1）．

點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理選用．