Question

（滿(mǎn)分12分）

 對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱(chēng)x₀為f（x）的不動(dòng)點(diǎn).

 

已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b－1（a≠0）.

（1）當(dāng)a=1，b=－2時(shí)，求f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）x=3或x=－1.（2）0<a<1

【解析】解：（1）當(dāng)a=1，b=－2時(shí)，f（x）=x²－x－3=xx²－2x－3=0

（x－3）（x+1）=0x=3或x=－1，

∴f（x）的不動(dòng)點(diǎn)為x=3或x=－1.

（2）對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，f（x）恒有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)

      對(duì)任意實(shí)數(shù)b，ax²+（b+1）x+b－1=x恒有兩個(gè)不等實(shí)根

即ax²+bx+b－1=0恒有兩個(gè)不等實(shí)根

      對(duì)任意實(shí)數(shù)b，Δ=b²－4a（b－1）>0恒成立

      對(duì)任意實(shí)數(shù)b，b²－4ab+4a>0恒成立

      Δ′=16a²－16a<0

      a（a－1）<00<a<1.