Question

已知△ABC的外接圓半徑為1，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．向量，滿足．
（1）求sinA+sinB的取值范圍；
（2）若A，且實(shí)數(shù)x滿足abx=a-b，試確定x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量平行的坐標(biāo)表示及正弦定理可得4sinAsinB=4cosAcosB，然后利用兩角和的余弦公式可求A+B，然后利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)可求
（2）由題意可得，x===，利用換元法設(shè)t=sinA-cosA，利用同角平方關(guān)系可把2sinAcosA用t表示，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求取值范圍
解答：解：（1）∵
由向量平行的坐標(biāo)表示可得，即ab=4cosAcosB
∵△ABC的外接圓半徑為1
由正弦定理可得，4sinAsinB=4cosAcosB
∴cosAcosB-sinAsinB=0即cos（A+B）=0
∵0＜A+B＜π
∴A+B=故△ABC為直角三角形
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
∵
∴
∴
（2）由題意可得，x===
設(shè)t=sinA-cosA（），則2sinAcosA=1-t²
∴x=
∵=＞0
故x=在（-1，）上單調(diào)遞增
∴
∴x的取值范圍是
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正弦定理及和差角公式、輔助角公式、同角平方關(guān)系及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系的綜合應(yīng)用