Question

已知雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0），過右焦點F作雙曲線在一，三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線C的左右的交點分別為A，B
（1）求證：點P在直線上（C為半焦距）．
（2）求雙曲線C的離心率e的取值范圍．
（3）若|AP|=3|PB|，求離心率．

Answer 1

【答案】分析：1）先設出雙曲線半焦距，求得漸近線方程，則可求得過F的垂線方程，聯(lián)立方程求得焦點p的橫坐標，推斷出在右準線上
（2）根據(jù)直線l與雙曲線左右支均有交點，判斷出該雙曲線與其在第一、三象限的漸近線l₁必交于第三象限．即l₁的斜率必大于l的斜率，進而推斷出 ＞整理后即可求得a和c的不等式關系，求得離心率的范圍．
（3）由題知P分AB所成比λ=3，利用定比分點的坐標公式可得，，結(jié)合可求，x₁，x₂，由x₁x₂=整理可得q，b的關系，進而可求離心率e
解答：解：（1）∵雙曲線在一，三象限的漸近線為y=，右焦點F（c，0）
∴所求的直線
由及聯(lián)立解得P的坐標P：
所以點P在直線上
（2）由消去y得（b⁴-a⁴）x²+2a⁴cx-a²（a²c²+b⁴）=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴
∴b²＞a²即c²＞2a²
∴
（3）由題知P分AB所成比λ=3
∴
∴
又
∴
∴
化簡得4a²=b²
∴=
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．涉及了雙曲線方程中a，b和c的關系，漸近線問題，離心率問題等