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        1. 如圖,圓柱的高為2,底面半徑為3,AE、DF是圓柱的兩條母線,B、C是下底面圓周上的兩點(diǎn),已知四邊形ABCD是正方形.
          (Ⅰ)求證:BC⊥BE;
          (Ⅱ)求正方形ABCD的邊長(zhǎng);
          (Ⅲ)求直線EF與平面ABF所成角的正弦值.
          分析:(I)根據(jù)AE⊥底面BEFC,可得AE⊥BC,而AB⊥BC,又AE∩AB=A滿足線面垂直的判定定理所需條件,則BC⊥面ABE,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BC⊥BE;
          (II)根據(jù)題意可知四邊形EFBC為矩形則BF為圓柱下底面的直徑,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x,根據(jù)BE2+EF2=BF2,建立方程,解之即可求出所求;
          (III)以F為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出面AEF的法向量
          n
          ,然后求出法向量與向量
          EF
          的余弦值即可求出直線EF與平面ABF所成角的正弦值.
          解答:解:(I)∵AE是圓柱的母線∴AE⊥底面BEFC,(1分)
          又BC?面BEFC∴AE⊥BC(2分)
          又∵ABCD是正方形∴AB⊥BC
          又AE∩AB=A∴BC⊥面ABE(3分)
          又BE?面ABE∴BC⊥BE(4分)
          (II)∵四邊形AEFD為矩形,且ABCD是正方形∴EF
          .
          BC
          ∵BC⊥BE∴四邊形EFBC為矩形∴BF為圓柱下底面的直徑(1分)
          設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x,則AD=EF=AB=x
          在直角△AEB中AE=2,AB=x,且BE2+AE2=AB2,得BE2=x2-4
          在直角△BEF中BF=6,EF=x,且BE2+EF2=BF2,的BE2=36-x2(2分)
          解得x=2
          5
          ,即正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2
          5
          (3分)
          (III)解:如圖以F為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
          則A(2
          5
          ,0,2),B(2
          5
          ,4,0),E(2
          5
          ,0,0),
          FA
          =(2
          5
          ,0,2),
          FB
          =(2
          5
          ,4,0),
          FE
          =(2
          5
          ,0,0)(1分)
          設(shè)面AEF的法向量為
          n
          =(x,y,z),則
          n
          FA
          =(x,y,z)•(2
          5
          ,0,-2)=2
          5
          x-2z=0
          n
          FB
          =(x,y,z)•(2
          5
          ,4,0)=2
          5
          x-4y=0
          (3分)
          令x=1,則y=
          5
          2
          ,z=
          5
          ,即
          n
          =(1,
          5
          2
          5
          )(4分)
          設(shè)直線EF與平面ABF所成角的大小為θ,則sinθ=|COS<
          n
          ,
          EF
          >|=|
          n
          EF
          |
          n
          |•|
          EF
          |
          |=|
          2
          5
          2
          5
          5
          4
          +1+5
          |=
          2
          29
          29
          (6分)
          所以直線EF與平面ABF所成角的正弦值為
          2
          29
          29
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了線線位置關(guān)系,線面所成角的度量,以及利用空間向量的方法求解立體幾何問題,屬于中檔題,考查空間想象能力,計(jì)算能力.
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          (1)求證:

          (2)求正方形ABCD的邊長(zhǎng);

          (3)求直線與平面所成角的正弦值.

           

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          如圖,圓柱的高為2,底面半徑為3,AE、DF是圓柱的兩條母線,B、C是下底面圓周上的兩點(diǎn),已知四邊形ABCD是正方形.

          (1)求證:;

          (2)求正方形ABCD的邊長(zhǎng);

          (3)求直線與平面所成角的正弦值.

           

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          如圖,圓柱的高為2,底面半徑為3,AE、DF是圓柱的兩條母線,B、C是下底面圓周上的兩點(diǎn),已知四邊形ABCD是正方形。

          (1)求證:;

          (2)求正方形ABCD的邊長(zhǎng);

          (3)求直線與平面所成角的正弦值。

           

           

           

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          如圖,圓柱的高為2,底面半徑為3,AE、DF是圓柱的兩條母線,B、C是下底面圓周上的兩點(diǎn),已知四邊形ABCD是正方形。

          (Ⅰ)求證:;

          (Ⅱ)求正方形ABCD的邊長(zhǎng);

          (Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值。

           

           

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