Question

定義域是R的函數(shù)y=f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱f（x）是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”．有下列關(guān)于“A的相關(guān)函數(shù)”的結(jié)論：
①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)“；
②f（x）=x²是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)“；
③“2的相關(guān)函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、0

Answer 1

分析：利用新定義“λ的相關(guān)函數(shù)”，對①②③逐個(gè)判斷即可得到答案．

解答：解：①設(shè)f（x）=C是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，
由f（x+λ）+λf（x）=0得，（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，
因此f（x）=0不是唯一一個(gè)常值“λ的相關(guān)函數(shù)”，故①不正確；
②用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實(shí)數(shù)x成立，
所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，
所以f（x）=x²不是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，故②不正確；
③由“2的相關(guān)函數(shù)”即λ=2，得f（x+2）+2f（x）=0，
令x=0代入上式得，f（2）+2f（0）=0，所以f（2）=-2f（0），
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；
若f（0）≠0，f（2）•f（0）=-2f²（0）＜0，
又∵f（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，
∴由零點(diǎn)存在定理得，函數(shù)f（x）在（0，2）上必有實(shí)數(shù)根．
因此任意的因此任意的“2的相關(guān)函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，故③正確，
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，及反證法與函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，考查推理與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．