(08年天津卷理)(本小題滿(mǎn)分14分)
在數(shù)列與
中,
,數(shù)列
的前
項(xiàng)和
滿(mǎn)足
,
為
與
的等比中項(xiàng),
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求數(shù)列與
的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè).證明
.
【解】 本小題主要考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的概念、等比中項(xiàng)、不等式證明、數(shù)學(xué)歸納等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類(lèi)討論的思想方法.滿(mǎn)分14分
(Ⅰ)解:由題設(shè)有,
,解得
.由題設(shè)又有
,
,解得
.
(Ⅱ)解法一:由題設(shè),
,
,及
,
,進(jìn)一步可得
,
,
,
,猜想
,
,
.
先證,
.
當(dāng)時(shí),
,等式成立.當(dāng)
時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
(1)當(dāng)時(shí),
,等式成立.
(2)假設(shè)時(shí)等式成立,即
,
.
由題設(shè),
①的兩邊分別減去②的兩邊,整理得,從而
.
這就是說(shuō),當(dāng)時(shí)等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知,等式
對(duì)任何的
成立.
綜上所述,等式對(duì)任何的
都成立
.
再用數(shù)學(xué)歸納法證明,
.
(1)當(dāng)時(shí),
,等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立,即
,那么
.
這就是說(shuō),當(dāng)時(shí)等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知,等式
對(duì)任何的
都成立.
解法二:由題設(shè)
①的兩邊分別減去②的兩邊,整理得,
.所以
,
,
……
,
.
將以上各式左右兩端分別相乘,得,
由(Ⅰ)并化簡(jiǎn)得 ,
.
止式對(duì)也成立.
由題設(shè)有,所以
,即
,
.
令,則
,即
.由
得
,
.所以
,即
,
.
解法三:由題設(shè)有,
,所以
,
,
……
,
.
將以上各式左右兩端分別相乘,得,化簡(jiǎn)得
,
.
由(Ⅰ),上式對(duì)也成立.所以
,
.
上式對(duì)時(shí)也成立.
以下同解法二,可得,
.
(Ⅲ)證明:.
當(dāng),
時(shí),
.
注意到,故
.
當(dāng),
時(shí),
.
當(dāng),
時(shí),
.
當(dāng),
時(shí),
.
所以.
從而時(shí),有
總之,當(dāng)時(shí)有
,即
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年天津卷理)(本小題滿(mǎn)分12分)
已知函數(shù),其中
.
(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)
處的切線方程為
,求函數(shù)
的解析式;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對(duì)于任意的,不等式
在
上恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年天津卷理)設(shè)橢圓上一點(diǎn)P到其左焦點(diǎn)的距離為3,到右焦點(diǎn)的距離為1,則P點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
A. 6 B.2 C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年天津卷理)設(shè)函數(shù),則
是
A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為
的偶函數(shù)
C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為
的偶函數(shù)
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