Question

某學(xué)校高一年級(jí)組建了A、B、C、D四個(gè)不同的“研究性學(xué)習(xí)”小組，要求高一年級(jí)學(xué)生必須參加，且只能參加一個(gè)小組的活動(dòng)．假定某班的甲、乙、丙三名同學(xué)對(duì)這四個(gè)小組的選擇是等可能的．
（1）求甲、乙、丙三名同學(xué)選擇四個(gè)小組的所有選法種數(shù)；
（2）求甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有二人參加同一組活動(dòng)的概率；
（3）設(shè)隨機(jī)變量X為甲、乙、丙三名同學(xué)參加A小組活動(dòng)的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析：（1）甲、乙、丙三名同學(xué)每人選擇四個(gè)小組的方法是4種，利用乘法原理可得結(jié)論；
（2）求出對(duì)立事件的概率，可得結(jié)論；
（3）確定X的取值，求出相應(yīng)的概率，即可得到X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX．

解答：解：（1）甲、乙、丙三名同學(xué)每人選擇四個(gè)小組的方法是4種，故有4³=64種．（4分）
（2）甲、乙、丙三名同學(xué)選擇三個(gè)小組的概率為

A 3 4

43

=

3

8

所以三名同學(xué)至少有二人選擇同一小組的概率為1-

3

8

=

5

8

．（8分）
（3）由題意X的可能取值為：0，1，2，3
所以P(X=0)=

33

43

=

27

64

，P(X=1)=

C 1 3 •32

43

=

27

64

，
P(X=2)=

C 2 3 •3

43

=

9

64

，P(X=3)=

C 3 3

43

=

1

16

，（12分）
所以X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

故數(shù)學(xué)期望EX=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．