Question

已知函數(shù)f(x)=

ax2+1

x+c

（a＞0，c∈R）為奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）的最小值為2．
（I）求函數(shù)的解析式
（Ⅱ）若a+b=1，a、b∈R⁺，求證：f(a)f(b)≥

25

4

（Ⅲ） 若g（x）=f（x）-x，n∈N^*且n≥2，求證：

n-1

2n

≤g(22)+g(32)+g(42)+…+g(n2)＜

n-1

n

．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)即f（-x）=-f（x）求得c=0，進而根據(jù)均值不等式求得函數(shù)f（x）的最小值的表達式，結(jié)果為2求得a，進而求得函數(shù)f（x）的解析式；
（II）利用分析法進行證明．欲證原不等式成立，只需證：(a+

1

a

)•(b+

1

b

)≥

25

4

．因為 a+b=1，即證：ab+

2

ab

-2≥

25

4

，令t=ab，考察函數(shù)y=t+

2

t

，結(jié)合此函數(shù)在區(qū)間（0，

1

4

]上是單調(diào)減函數(shù)即得；
（III）用分析法證明．分析得出只需證：

n-1

2n

≤

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

n-1

n

，下面從而左右兩個方面進行證明即可．

解答：解：（I）由函數(shù)f(x)=

ax2+1

x+c

（a＞0，c∈R）為奇函數(shù)，
可得f（-x）=

ax2+1

-x+c

=-f（x）=-

ax2+1

x+c

∴-x+c=-x-c
∴c=0
∴f(x)=

ax2+1

x

再由x＞0時，f(x)=

ax2+1

x

≥

2 a x

x

=2

a

，
∵f（x）的最小值為2，得2

a

=2，⇒a=1，
故f(x)=

x2+1

x

（x≠0）…（4分）
（Ⅱ）欲證原不等式成立，
需證：(a+

1

a

)•(b+

1

b

)≥

25

4

．
因為 a+b=1，即證：ab+

2

ab

-2≥

25

4

，
再由a+b=1，a、b∈R⁺，ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

，故0＜ab≤

1

4

，
令t=ab，考察函數(shù)y=t+

2

t

，它在區(qū)間（0，

1

4

]上是單調(diào)減函數(shù)，當t=

1

4

時，y=

33

8

，
∴ab+

2

ab

-2≥

25

4

，
從而原不等式成立．…（8分）
（學生用其它方法參照給分）
（Ⅲ）g(x)=

1

x

，需證：

n-1

2n

≤

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

n-1

n

一方面：

1 22 + 1 32 + 1 42 +…+ 1 n2 ＜ 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 (n-1)n =1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 n-1 - 1 n = n-1 n

…（10分）
另一方面：

1

22

=

1

2×2×(2-1)

1

k2

=

1

k•k

＞

1

k•2(k-1)

(k＞3)

1 22 + 1 32 + 1 42 +…+ 1 n2 ≥ 1 2 ( 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 (n-1)n ) = 1 2 (1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 n-1 - 1 n )= n-1 2n

綜上

n-1

2n

≤

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

n-1

n

．
…（14分）

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應用，均值不等式的應用，不等式的證明及函數(shù)的單調(diào)性．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．