Question

函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象與函數(shù)y=log₂x的圖象交于兩點(diǎn)A₁、B₁（A₁在線段OB₁上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)A₁、B₁作x軸的垂線，垂足分別為M、N，并且A₁M、B₁N分別交函數(shù)y=log₄x的圖象于A₂、B₂兩點(diǎn)．
（1）試探究線段A₁A₂、A₂M的大小關(guān)系；
（2）若A₁B₂平行于x軸，求四邊形A₁A₂B₂B₁的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A₁（x₁，log₂x₁），B₁（x₂，log₂x₂），則A₂（x₁，log₄x₁），B₂（x₂，log₄x₂），由題意可求得A₁A₂=

1

2

log2x1，A₂M=

1

2

log2x1，從而可得答案；
（2）若A₁B₂平行于x軸，可求得

x1= x2 log2x1=kx1 log2x2=kx2

，從而可求得

x1=2 x2=4 k= 1 2

，得到A₁，B₁，，A₂，B₂的坐標(biāo)，從而可求四邊形A₁A₂B₂B₁的面積．

解答：解：由題設(shè)A₁（x₁，log₂x₁），B₁（x₂，log₂x₂），則A₂（x₁，log₄x₁），B₂（x₂，log₄x₂），
（1）A₁A₂=log₂x₁-log₄x₁=log₂x₁-

1

2

log₂x₁=

1

2

log₂x₁；
A₂M=log₄x₁=

1

2

log2x1，
故A₁A₂=A₂M；
（2）若A₁B₂平行于x軸，則log₂x₁=log₄x₂=

1

2

log2x2=log₂

x2

，x₁=

x2

；
又log₂x₁=kx₁，log₂x₂=kx₂，
聯(lián)立方程組

x1= x2 log2x1=kx1 log2x2=kx2

，解得

x1=2 x2=4 k= 1 2

此時(shí)A₁（2，1），B₁（4，2），A₂（2，

1

2

），B₂（4，1）．
∴四邊形A₁A₂B₂B₁的面積=

( 1 2 +1)×2

2

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查解方程組的能力，考出轉(zhuǎn)化思想與方程思想的運(yùn)用，考查思維與運(yùn)算能力，屬于難題．