Question

已知函數(shù)，
（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式f（x）≥x對于任意的x∈[0，a+1]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導函數(shù)，然后討論a，得到導數(shù)符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可知當a＞2時，x∈[x₁，x₂]⊆[0，a+1]時，有f（x）＜0即f（x）≥x不成立，當a=0時，f（x）≥x在x∈[0，a+1]上成立，當a∈（0，2）時，證明，即證e^x-（x+1）x≥0（x=a+1∈（1，3））即可．
解答：解：（1）f′（x）==
當a=0時，函數(shù)定義域為R，f′（x）=≥0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增
當a∈（0，2）時，∵△=a²-4＜0∴x²-ax+1＞0恒成立，函數(shù)定義域為R，又a+1＞1，
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，（1，1+a）單調(diào)遞減，（1+a，+∞）單調(diào)遞增
當a=2時，函數(shù)定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），f′（x）=
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，（1，3）上單調(diào)遞減，（3，+∞）上單調(diào)遞增
當a∈（2，+∞）時，∵△=a²-4＞0，設x²-ax+1=0的兩個根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由韋達定理易知兩根均為正根，且0＜x₁＜1＜x₂，所以函數(shù)的定義域為（-∞，x₁）∪（x₂，+∞）
又對稱軸x=＜a+1，且（a+1）²-a（a+1）+1=a+2＞0，x₂＜a+1
∴f（x）在（-∞，x₁），（x₁，1）單調(diào)遞增，（1，x₂），（x₂，a+1）上單調(diào)遞減，（1+a，+∞）單調(diào)遞增
（2）解：由（1）可知當a＞2時，x∈[x₁，x₂]⊆[0，a+1]時，有f（x）＜0即f（x）≥x不成立，---------（8分）
當a=0時，單調(diào)遞增，所以f（x）≥x在x∈[0，a+1]上成立----------------（9分）
當a∈（0，2）時，，
下面證明：即證e^x-（x+1）x≥0（x=a+1∈（1，3））
令g（x）=e^x-（x+1）x，g′（x）=e^x-2x-1，g″（x）=e^x-2
∵x∈（1，3）∴g″（x）＞0，∴g′（x）單調(diào)遞增，∵g′（1）＜0，g′（3）＞0
∴?x使得=e^x-2x-1=0
∴g（x）在（1，x）上單調(diào)遞減，在（x，3）上單調(diào)遞減，此時g（x）≥g（x）=-+x+1
∵g′（）=-（2+）＞0
∴x＜∴g（x）＞0
所以不等式e^x-（x+1）x≥0（x=a+1∈（1，3））所以
綜上所述，當a∈[0，2）時，不等式f（x）≥x對于任意的x∈[0，a+1]恒成立-------（15分）
點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和計算能力，屬于難題．