Question

設F₁，F₂分別為橢圓

x2

3

+y2=1的左、右焦點，點A，B在橢圓上，若

F1A

=3

F2B

，則點A的坐標是（　�。�

• A．(

  1

  2

  ，±

  33

  6

  )
• B．(-

  1

  2

  ，±

  33

  6

  )
• C．(

  2

  2

  ，±

  30

  6

  )
• D．(-

  2

  2

  ，±

  30

  6

  )

Answer 1

分析：由橢圓

x2

3

+y2=1可得a²=3，b²=1，利用c=

a2-b2

可得c．即可得到左、右焦點F₁，F₂．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用

F1A

=3

F2B

，可得x₁，x₂分別用y₁，y₂表示．把點A，B的坐標分別代入橢圓即可解出．

解答：解：由橢圓

x2

3

+y2=1可得a²=3，b²=1，
∴c=

a2-b2

=

2

．
∴F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵

F1A

=3

F2B

，
∴(x1+

2

，y1)=3(x2-

2

，y2)，
∴

x1+ 2 =3(x2- 2 ) y1=3y2

，
解得

x1=3x2-4 2 y1=3y2

．
∵點A，B在橢圓上，
∴

x 2 2 3 + y 2 2 =1 (3x2-4 2 )2 3 +(3y2)2=1

，
解得x2=

7 2

6

，y₂=±

30

18

．
∴x1=3×

7 2

6

-4

2

=-

2

2

，y1=±

30

6

．
∴A(-

2

2

，±

30

6

)．
故選D．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、點與橢圓的位置關系、向量的運算法則等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．