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        1. 如圖,橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的頂點為A1,A2,B1,B2.焦點為F1,F(xiàn)2,|F1F2|=2c,向量
          A1B1
          在向量
          A1A2
          上的投影為2,且橢圓上的點到焦點距離的最小值
          為1.
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)是否存在同時滿足以下條件的直線:①與橢圓相交于M,N兩點,以線段MN為直徑的圓過原點;
          ②與圓心在原點,半徑為c的圓相切;若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)由題設條件,利用向量
          A1B1
          在向量
          A1A2
          上的投影為2,且橢圓上的點到焦點距離的最小值為1,求出a=2,c=1,由此能求出橢圓方程.
          (2)假設滿足題設的直線l存在,設M,N兩點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),當l不垂直于x軸時,設l方程為y=kx+m,直線與x2+y2=1相切,由題設條件得到不存在這樣的實數(shù)k,此直線l不存在.當l垂直于x軸時,直線l的方程為x=1或x=-1,推出此直線l也不存在.
          解答:解:(1)A1(-a,0),B1(0,b),A2(a,0),
          A1B1
           
          =(a,b),
          A1A2
          =(2a,0),
          A1B1
          A1A2
          |
          A1A2
          |
          =2=
          2a2
          2a
          =a,
          ∴a=2.(2分)
          又a-c=1,∴c=1,
          b2=a2-c2=3,
          ∴橢圓方程為
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1
          .(5分)
          (2)假設滿足題設的直線l存在,設M,N兩點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),
          ①當l不垂直于x軸時,設l方程為y=kx+m,
          直線與x2+y2=1相切,
          |m|
          k2+1
          =1
          ,即m2=k2+1.
          又以MN為直徑的圓過原點,
          ∴OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0,(7分)
          獎y=kx+m代入橢圓方程,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
          x1+x2=
          -8km
          3+4k2
          ,x1x2=
          4m2-12
          3+4k2

          ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
          =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,
          ∴(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0,
          將m2=1+k2代入,得-5(k2+1)=0,即不存在這樣的實數(shù)k,
          ∴此直線l不存在.(10分)
          ②當l垂直于x軸時,直線l的方程為x=1或x=-1,
          當x=1時,直線l與橢圓的交點為(1,
          3
          2
          )和(1,-
          3
          2
          ),
          OM
          ON
          =1-
          9
          4
          ≠0
          .(11分)
          當x=-1時,同理,得
          .
          OM
          ON
          ≠0
          ,即此直線l也不存在.
          綜上,滿足條件的直線l不存在.(13分)
          點評:本題考查橢圓方程的求法,判斷直線l是否存在.考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強,難度大,有一定的探索性,對數(shù)學思維能力要求較高,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          2
          =1
          焦點在x軸上,左、右頂點分別為A1、A,上頂點為B,拋物線C1、C2分別以A、B為焦點,其頂點均為坐標原點O.C1與C2相交于直線y=
          2
          x
          上一點P.
          (Ⅰ)求橢圓C及拋物線C1、C2的方程;
          (Ⅱ)若動直線l與直線OP垂直,且與橢圓C交于不同兩點M、N,已知點Q(-
          2
          ,0),求
          QM
          .
          QN
          的最小值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2008•閘北區(qū)二模)如圖,橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          ,A1、A2為橢圓C的左、右頂點.
          (Ⅰ)設F1為橢圓C的左焦點,證明:當且僅當橢圓C上的點P在橢圓的左、右頂點時|PF1|取得最小值與最大值;
          (Ⅱ)若橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.求橢圓C的標準方程;
          (Ⅲ)若直線l:y=kx+m與(Ⅱ)中所述橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且滿足AA2⊥BA2,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          a2-1
          =1
          的左右頂點分別為A、B,左右焦點分別為F1、F2,P為以F1、F2為直徑的圓上異于F1、F2的動點,直線PF1、PF2分別交橢圓C于M、N和D、E.
          (1)證明:
          AP
          BP
          為定值K;
          (2)當K=-2時,問是否存在點P,使得四邊形DMEN的面積最小,若存在,求出最小值和P坐標,若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的頂點為A1、A2、B1、B2,焦點為F1
          F2|A1B1|=
          7
          ,
          S?A1B1A2B 2=2S?B1F1B2F 2
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)設l是過原點的直線,直線n與l垂直相交于P點,且n與橢圓相交于A,B兩點,|OP|=1,求
          AP
          PB
          的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2011•重慶三模)光線被曲線反射,等效于被曲線在反射點處的切線反射.已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā),被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點;光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出;如圖,橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          與雙曲線C′:
          x2
          m2
          -
          y2
          n2
          =1(m>0,n>0)
          有公共焦點,現(xiàn)一光線從它們的左焦點出發(fā),在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射,則光線經(jīng)過2k(k∈N*)次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長為( 。

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