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        1. (2013•汕頭二模)如圖,在邊長為3的等邊三角形ABC中,E,F(xiàn),P分別為AB,AC,BC邊上的點,且滿足AE=FC=CP=1,將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,如圖,使平面A1EF⊥平面FEBP,連結(jié)A1B,A1P,
          (1)求證:A1E⊥PF;
          (2)若Q為A1B中點,求證:PQ∥平面A1EF.
          分析:(1)利用余弦定理即可得出EF2=3,利用勾股定理的逆定理可得EF⊥AE,即A1E⊥EF.再利用面面垂直的性質(zhì)定理就看得出A1E⊥平面FEBP.從而證明結(jié)論;
          (2)取A1E的中點M,連接QM,MF,利用三角形中位線定理即可證明QM
          .
          1
          2
          BE
          .先判斷△CFP是等邊三角形.即可得出PF
          .
          1
          2
          BE
          .得到四邊形PQMF為平行四邊形,可得PQ∥MF.再利用線面平行的判定定理即可證明.
          解答:證明:(1)在△AEF中,∵AE=1,AF=2,∠EAF=60°,
          由余弦定理可得EF2=12+22-2×1×2×cos60°=3,
          ∴AE2+EF2=AF2,∴EF⊥AE.即A1E⊥EF.
          又平面A1EF⊥平面FEBP,∴A1E⊥平面FEBP.
          ∴A1E⊥PF.
          (2)取A1E的中點M,連接QM,MF.
          又∵Q為A1B的中點,∴QM
          .
          1
          2
          BE

          ∵FC=CP=1,∠C=60°.
          ∴△CFP是等邊三角形.
          ∴∠CPF=∠B=60°,
          ∴PF∥BE.PF=
          1
          3
          AB=
          1
          2
          BE

          ∴QM
          .
          PF.
          ∴四邊形PQMF為平行四邊形,
          ∴PQ∥MF.
          ∵MF?平面A1EF,PQ?平面A1EF.
          ∴PQ∥平面A1EF.
          點評:熟練掌握余弦定理、勾股定理的逆定理、面面垂直的性質(zhì)定理、三角形中位線定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形判定與性質(zhì)、線面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵.
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          2
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