Question

設(shè)函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

，
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)及此時f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）∵f（x）的定義域為R，任設(shè)x₁＜x₂，化簡f（x₁）-f（x₂）到因式乘積的形式，判斷符號，得出結(jié)論．
（2）由f（-x）=-f（x），解出a的值，進而得到函數(shù)的解析式：f(x)=1-

2

2x+1

．
由 2^x+1＞1，可得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）∵f（x）的定義域為R，設(shè) x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2•(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．
（2）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，
解得：a=1．∴f(x)=1-

2

2x+1

．
∵2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，∴-1＜f(x)＜1
所以f（x）的值域為（-1，1）．

點評：本題考查證明函數(shù)的單調(diào)性的方法、步驟，利用奇函數(shù)的定義求待定系數(shù)的值，及求函數(shù)的值域．