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        1. 如圖,直線AB與橢圓:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0)交于A,B兩點,與x軸和y軸分別交于點P和點Q,點C是點A關(guān)于x軸的對稱點,直線BC與x軸交于點R.
          (1)若點P為(6,0),點Q為(0,3),點A,B恰好是線段QP的兩個三等分點.
          ①求橢圓的方程;
          ②過坐標(biāo)原點O引△ABC外接圓的切線,求切線長;
          (2)當(dāng)橢圓給定時,試探究OP•OR是否為定值?若是,請求出此定值;若不是,請說明理由.
          分析:(1)①利用
          QP
          =3
          QA
          ,點B為A、P中點,可得點A、B的坐標(biāo),代入橢圓方程,求得幾何量,從而可求橢圓的方程;
          ②確定線段AB的中垂線方程,求得△ABC外接圓的圓心與半徑,從而可求切線長;
          (2)確定直線BC的方程,求得R的坐標(biāo),同理可求P的坐標(biāo),表示出OP•OQ,利用P、Q再橢圓上,即可求得結(jié)論.
          解答:解:(1)①設(shè)點A(x,y),由題意知
          QP
          =3
          QA
          ,則有(6,-3)=3(x,y-3),
          解得x=2,y=2,即A(2,2),又點B為A、P中點,可得點B(4,1)…(2分)
          4
          a2
          +
          4
          b2
          =1
          16
          a2
          +
          1
          b2
          =1
          ,解得:a2=20,b2=5,∴橢圓的方程為
          x2
          20
          +
          y2
          5
          =1
          …(5分)
          ②由點A(2,2),B(4,1)可求得線段AB的中垂線方程為y=2x-
          9
          2
          ,令y=0,得x=
          9
          4

          設(shè)△ABC外接圓的圓心為M,半徑為r,可知M(
          9
          4
          ,0),r=AM=
          65
          4
          …(7分)
          ∴切線長為
          OM2-r2
          =1
          …(9分)
          (2)設(shè)點B(x0,y0),A(x1,y1),則C(x1,-y1).
          所以直線BC的方程為y-y0=
          y0+y1
          x0-x1
          (x-x0),
          令y=0,得x=
          x0y1+x1y0
          y0+y1
          ,即點R(
          x0y1+x1y0
          y0+y1
          ,0),
          同理P(
          x1y0-x0y1
          y0-y1
          ,0)…(13分)
          ∴OP•OR=|
          x1y0-x0y1
          y0-y1
          ||
          x0y1+x1y0
          y0+y1
          |=
          x12y02-x02y12
          y02-y12
          ,
          又∵
          x02
          a2
          +
          y02
          b2
          =1①
          x12
          a2
          +
          y12
          b2
          =1②
          ,∴①×
          y
          2
          1
          -②×
          y
          2
          0
          ,兩式相減得
          x12y02-x02y12
          a2
          =
          y
          2
          0
          -
          y
          2
          1
          ,
          x12y02-x02y12
          y02-y12
          =a2
          ,
          ∴當(dāng)橢圓給定時,OP•OR為定值a2…(16分)
          點評:本題考查橢圓的標(biāo)準方程,考查直線與圓的位置關(guān)系,考查點差法的運用,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,設(shè)點F是橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左焦點,直線l的方程為x=-
          a2
          c
          ,直線l與x軸交于點P,線段MN為橢圓的長軸,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|.
          (1)求橢圓的C的標(biāo)準方程;
          (2)若過點P且斜率為
          1
          4
          的直線AB與橢圓交于A、B兩點,求弦長|AB|
          (3)若過點P的直線AB與橢圓交于A、B 兩點,求△ABF的面積的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,已知F(c,0)是橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的右焦點;⊙F:(x-c)2+y2=a2與x軸交于D,E兩點,其中E是橢圓C的左焦點.
          (1)求橢圓C的離心率;
          (2)設(shè)⊙F與y軸的正半軸的交點為B,點A是點D關(guān)于y軸的對稱點,試判斷直線AB與⊙F的位置關(guān)系;
          (3)設(shè)直線AB與橢圓C交于另一點G,若△BGD的面積為
          24
          6
          13
          c
          ,求橢圓C的標(biāo)準方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省鹽城市高三(上)摸底數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          如圖,直線AB與橢圓:(a>b>0)交于A,B兩點,與x軸和y軸分別交于點P和點Q,點C是點A關(guān)于x軸的對稱點,直線BC與x軸交于點R.
          (1)若點P為(6,0),點Q為(0,3),點A,B恰好是線段QP的兩個三等分點.
          ①求橢圓的方程;
          ②過坐標(biāo)原點O引△ABC外接圓的切線,求切線長;
          (2)當(dāng)橢圓給定時,試探究OP•OR是否為定值?若是,請求出此定值;若不是,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省鹽城市高三(上)摸底數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          如圖,直線AB與橢圓:(a>b>0)交于A,B兩點,與x軸和y軸分別交于點P和點Q,點C是點A關(guān)于x軸的對稱點,直線BC與x軸交于點R.
          (1)若點P為(6,0),點Q為(0,3),點A,B恰好是線段QP的兩個三等分點.
          ①求橢圓的方程;
          ②過坐標(biāo)原點O引△ABC外接圓的切線,求切線長;
          (2)當(dāng)橢圓給定時,試探究OP•OR是否為定值?若是,請求出此定值;若不是,請說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案