Question

已知雙曲線x²-

y2

3

=1的左頂點(diǎn)為A₁，右焦點(diǎn)為F₂，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則

PA1

•

PF2

最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)P（x，y）（x≥1），根據(jù)雙曲線的方程，易得A₁、F₂的坐標(biāo)，將其代入

PA1

•

PF2

中，可得關(guān)于x、y的關(guān)系式，結(jié)合雙曲線的方程，可得

PA1

•

PF2

=4x²-x-5=4(x-

1

8

)2-5-

1

16

，由x的范圍，可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，設(shè)P（x，y）（x≥1），
易得A₁（-1，0），F(xiàn)₂（2，0），

PA1

•

PF2

=（-1-x，y）•（2-x，y）=x²-x-2+y²，
又x²-

y2

3

=1，故y²=3（x²-1），
于是

PA1

•

PF2

=4x²-x-5=4(x-

1

8

)2-5-

1

16

，
當(dāng)x=1時，取到最小值-2；
故答案為：-2．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，涉及最值問題；解題的思路是先設(shè)出變量，表示出要求的表達(dá)式，結(jié)合圓錐曲線的方程，將其轉(zhuǎn)化為只含一個變量的關(guān)系式，進(jìn)而由不等式的性質(zhì)或函數(shù)的最值進(jìn)行計算．