Question

【題目】如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）過(guò)作，易證，再證明即可； （2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于得直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量坐標(biāo)法求解即可.

（1）證明：如圖，過(guò)作，則

且，

又，，

∴四邊形為平行四邊形，則，

由，為中點(diǎn)，得為中點(diǎn)，而為中點(diǎn)，

∴，，則四邊形為平行四邊形，則，

∴，

∵平面，平面，

∴平面

（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于得直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，取，得，

又平面的一個(gè)法向量為，

∴

因?yàn)?/span>

.

∴二面角的正弦值為.