Question

【題目】已知A、B、C是橢圓W：上的三個點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積.

(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.

Answer 1

【答案】(I)(II) 不可能是菱形

【解析】

解：(1)橢圓W：＋y2＝1的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)．

因?yàn)樗倪呅?/span>OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分．

所以可設(shè)A(1，m)，

代入橢圓方程得＋m2＝1，即m＝±.

所以菱形OABC的面積是

|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.

(2)四邊形OABC不可能為菱形．理由如下：

假設(shè)四邊形OABC為菱形．

因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過原點(diǎn)，

所以可設(shè)AC的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．

由

消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則＝－，＝k·＋m＝.

所以AC的中點(diǎn)為M.

因?yàn)?/span>M為AC和OB的交點(diǎn)，

所以直線OB的斜率為－.

因?yàn)?/span>k·≠－1，所以AC與OB不垂直．

所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾．

所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時，四邊形OABC不可能是菱形．