Question

在數列{a_n}中，如果存在非零常數T，使得a_m+T=a_m對于任意的非零自然數m均成立，那么就稱數列{a_n}的周期數列，其中T叫做數列{a_n}的周期．已知周期數列{x_n}滿足，且x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），當數列{x_n}的周期最小時，該數列前2012項和是________．

Answer 1

1342
分析：由x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），且x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），x₃=|x₂-x₁|=|1-a|．分類討論，得到當a=1時，數列{x_n}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，它滿足：x_m+3=x_m，即最小周期為3，它從第一項起，每三項之和為1+1+0=2，從而可得結論．
解答：∵x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），且x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），
∴x₃=|x₂-x₁|=|1-a|，
（1）當a≥1時，有x₃=a-1，x₄=|x₃-x₂|=|（a-1）-a|=1=x₁，x₅=|x₄-x₃|=|1-（a-1）|=|2-a|，
①當a≤2時，有x₅=2-a
此時，若x₅=x₂，即2-a=a，則a=1，就有x₁=x₄=1，x₂=x₅=1，x₃=0
則數列{x_n}為1，1，0，1，1，0，1，1，0…，它滿足x_m+3=x_m，即最小周期為3
②當a＞2時，有x₅=a-2，
此時，若x₅=x₂，即a-2=a，顯然是不可能的．
（2）當a＜1時，有x₃=|x₂-x₁|=|a-1|=1-a，x₄=|x₃-x₂|=|（1-a）-a|=|1-2a|
①當0＜a≤時，有x₄=1-2a，x₅=|x₄-x₃|=|（1-2a）-（1-a）|=|a|=a=x₂，
此時，若x₄=x₁，即1-2a=1，則a=0，與已知矛盾，不符合條件．
②當＜a＜1時，有：x₄=2a-1，x₅=|x₄-x₃|=|（2a-1）-（1-a）|=3|a-1|=3（1-a）
此時，若x₃=x₁，即1-a=1，則a=0，這與a≠0相矛盾．
若x₄=x₁，即2a-1=1，則a=1，這與a＜1相矛盾．
若x₅=x₁，那么即使其成立，其周期為4，也大于前面求出的最小周期3，也可以不考慮．
③當a＜0時，有x₄=1-2a，x₅=|x₄-x₃|=|（1-2a）-（1-a）|=|-a|=-a，
同樣存在上述②的情況．
綜上：當a=1時，數列{x_n}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，它滿足：x_m+3=x_m，即最小周期為3，
它從第一項起，每三項之和為1+1+0=2，
∵=670…2，
∴數列的前2012項和S₂₀₁₂=670×2+2=1342．
故答案為：1342．
點評：本題考查數列的遞推公式的應用，考查分類討論思想的靈活運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．