Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐中，，點(diǎn)E在上，且

（I）證明：；

（Ⅱ）求以為棱，與為面

    的二面角的大�。�

 

Answer 1

解法一：

（I）證明：因?yàn)榈酌?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20091126/20091126174023001.gif' width=48 height=19>是菱形，，

 所以，在中，

 由知

同理，所以平面

 

 

（Ⅱ）解：作交于，

由平面

知平面作于，連接，

則即為二面角的平面角。

又所以

從而

（Ⅲ）當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，平面證明如下，

取的中點(diǎn)，連結(jié)，則①

由   知是的中點(diǎn)

連結(jié)，設(shè)，則為的中點(diǎn)。

所以    ②

由①、②知，平面平面。

又  平面，所以平面

解法二：

（I）證明：因?yàn)榈酌?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20091126/20091126174023001.gif' width=48 height=19>是菱形，，

所以在中，

由 知

同理，，所以平面

（Ⅱ）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)垂直平面 的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

所以

 

 

設(shè)是平面的一個(gè)法向量。

則

=0

令得即

又由已知是平面的一個(gè)法向量，且

， 

（Ⅲ）（法一）設(shè)點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，其中，則  

       

    由（Ⅱ）知是平面的一個(gè)法向量

     即

    解得

   即是的中點(diǎn)時(shí)，。/

   又平面，所以當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，平面

  （法二）當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：

   因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20091126/20091126174025079.gif' width=248 height=41>

   

    所以   共面。

    又平面，從面平面