Question

（2011•惠州模擬）已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+b在x=1處有極小值2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)g(x)=

m

3

f′(x)-2x+3在[0，2]只有一個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數(shù)f'（x）=3x²-3a，利用函數(shù)f（x）=x³-3ax+b在x=1處有極小值2，可得

f′(1)=3-3a=0 f(1)=1-3a+b=2

，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）g(x)=

m

3

f′(x)-2x+3=

m

3

(3x2-3)-2x+3=mx2-2x-m+3，再進行分類討論：當m=0時，g（x）=-2x+3，g（x）在[0，2]上有一個零點；當m≠0時，①若方程g（x）=0在[0，2]上有2個相等實根，即函數(shù)g（x）在[0，2]上有一個零點；②若g（x）有2個零點，1個在[0，2]內(nèi)，另1個在[0，2]外，從而可求m的取值范圍．

解答：解：（I）f'（x）=3x²-3a…（1分）
依題意有

f′(1)=3-3a=0 f(1)=1-3a+b=2

，…（3分）
解得

a=1 b=4

，…（4分）
此時f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
x∈（-1，1），f'（x）＜0，x∈（1，+∞），f'（x）＞0，滿足f（x）在x=1處取極小值
∴f（x）=x³-3x+4…（5分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²-3
∴g(x)=

m

3

f′(x)-2x+3=

m

3

(3x2-3)-2x+3=mx2-2x-m+3…（6分）
當m=0時，g（x）=-2x+3，
∴g（x）在[0，2]上有一個零點x=

3

2

（符合），…（8分）
當m≠0時，
①若方程g（x）=0在[0，2]上有2個相等實根，即函數(shù)g（x）在[0，2]上有一個零點．
則

△=4-4m(-m+3)=0 0≤ 1 m ≤2

，得m=

3+ 5

2

…（10分）
②若g（x）有2個零點，1個在[0，2]內(nèi)，另1個在[0，2]外，
則g（0）g（2）≤0，即（-m+3）（3m-1）≤0，解得m≤

1

3

，或m≥3…（12分）
經(jīng)檢驗m=3有2個零點，不滿足題意．
綜上：m的取值范圍是m≤

1

3

，或m=

3+ 5

2

，或m＞3…（14分）

點評：本題以函數(shù)的性質(zhì)為載體，考查函數(shù)的解析式，考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的零點，考查分類討論的數(shù)學思想，綜合性強．