Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對任意的x∈（x₁，+∞），都有f（x）＞m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)f′（x），令g（x）=2x²+2x+a，由題意知x₁、x₂是方程g（x）=0的兩個均大于-1的不相等的實根，建立不等關(guān)系解之即可；
（2）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間；
（3）x₂是方程g（x）=0的根，將a用x₂表示，消去a得到關(guān)于x₂的函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可求m的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=x²+aln（x+1）可得f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

（x＞-1）．
令g（x）=2x²+2x+a（x＞-1），則其對稱軸為x=-

1

2

，
故由題意可知x₁，x₂是方程g（x）=0的兩個均大于-1的不相等的實數(shù)根，
其充要條件為

△=4-8a＞0 g(-1)=a＞0

，解得0＜a＜

1

2

；
（2）由（1）可知f′(x)=

2x2+2x+a

x+1

=

2(x-x1)(x-x2)

x+1

，其中-1＜x₁＜x₂，故
①當(dāng)x∈（-1，x₁）時，f'（x）＞0，即f（x）在區(qū)間（-1，x₁）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0，即f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上單調(diào)遞減；
③當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＞0，即f（x）在區(qū)間（x₂，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）由（2）可知f（x）在區(qū)間（x₁，+∞）上的最小值為f（x₂）．
又由于g（0）=a＞0，因此-

1

2

＜x2＜0．又由g(x2)=2

x

2 2

+2x2+a=0
可得a=-(2

x

2 2

+2x2)，從而f(x2)=

x

2 2

+aln(x2+1)=

x

2 2

-(2

x

2 2

+2x2)ln(x2+1)．
設(shè)h（x）=x²-（2x²+2x）ln（x+1），其中-

1

2

＜x＜0，
則h'（x）=2x-2（2x+1）ln（x+1）-2x=-2（2x+1）ln（x+1）．
由-

1

2

＜x＜0知：2x+1＞0，ln（x+1）＜0，
故h'（x）＞0，故h（x）在(-

1

2

，0)上單調(diào)遞增．
所以，f(x2)=h(x2)＞h(-

1

2

)=

1-2ln2

4

．
所以，實數(shù)m的取值范圍為m≤

1-2ln2

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等有關(guān)知識，屬于中檔題．